某海洋渔业公司计划在海边用渔网围建一座海水养殖场
设渔网的总长为常数L,在射线与上分别选点A与B,使得AB=L.在这两点处各打一桩,从A到B用渔网连接.试问A、B选在何处可使所围养殖场水面面积S(以下均用S表示该面积,本问中等于三角形AOB的面积)最大?证明你的结论.
若另可在海中某点C处打一桩,使AC+CB=L,将AC与CB分别用渔网连接,试问A、B、C如何选址可使S最大?为什么?
若海中另可选两点C、D,这里,且AC+CD+DB=L,在A、B、C、D处各打一桩,依次用渔网连接,试问如何选址可使S最大?为什么?
若在海中可依次打桩,回答问题3的推广问题.
设海岸夹角为120°,海底水深为该处到最近海岸线距离的r倍(r取为0.1),相邻两桩之间的渔网在垂直于海平面的同一平面上.渔网的成本与它的面积成正比,每根桩的成本不低于1000元,若超过1000元,其成本与它的高度(从海底到海面的垂直距离)的立方成正比.养殖场单位面积的效益当水深不超过4米时与该处水深的平方根成正比,水深超过4米时效益与4米处相同.由于海底面的走向,为便于渔网的布置,在养殖场的最深处必须打一桩,相邻两桩之间的距离不超过20米.
请根据目前市场渔网价格与钢筋混凝土桩的造价回答下列两小问:
(1)假设该公司投资M万元,请设计桩的根数和选择桩址,使养殖场总的投资效益最大.
(2)该公司投资多少万元建造这样一座养殖场,可使单位资金的投资效益最大?
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