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【在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3acosA=c乘以cosB+b乘以cosC.(1)求角cosA的大小(2)求a=1,cosB+cosC等于三分之二倍根号三,求边c的取值范围】
更新时间:2024-04-27 22:03:01
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问题描述:

在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3acosA=c乘以cosB+b乘以cosC.

(1)求角cosA的大小

(2)求a=1,cosB+cosC等于三分之二倍根号三,求边c的取值范围

孙建回答:
  3acosA=c乘以cosB+b乘以cosC   3sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA   cosA=1/3   诱导公式cosA=cos(π-B-C)=-cos(B+C)   故cos(B+C)=-1/3   两角和公式cos(B+C)=cosBcosC-SinBsinC=-1/3代入下式   (cosB+cosC)^2=cosB^2+cosC^2+2cosBcosC=4/3   得:1-sinB^2+1-sinC^2+2SinBsinC-2/3=4/3   即-(sinB-sinC)^2=0   B=C,等腰三角形,cosB=cosC,ABC全锐角   则c=asinC/sinA=1*√6/3/(2*√2/3)=√3/2
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