（2014•福建模拟）如图1所示，在边长为12的正方形ADD1A1中，点B，C在线段AD上，且AB=3，BC=4，作BB1∥AA1，分别交A1D1，AD1于点B1，P，作CC1∥AA1，分别交A1D1，AD1于点C1，Q，将该正方形沿BB1，CC1折
更新时间：2024-04-28 03:31:35
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问题描述：
（2014•福建模拟）如图1所示，在边长为12的正方形ADD1A1中，点B，C在线段AD上，且AB=3，BC=4，作BB1∥AA1，分别交A1D1，AD1于点B1，P，作CC1∥AA1，分别交A1D1，AD1于点C1，Q，将该正方形沿BB1，CC1折叠，使得DD1与AA1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A1B1C1．
（1）求证：AB⊥平面BCC1B1；
（2）若点E为四边形BCQP内一动点，且二面角E-AP-Q的余弦值为
3
杜世臣回答：
（1）在正方形ADD1A1中，∵CD=AD-AB-BC=5，
∴三棱柱ABC-A1B1C1的底面三角形ABC的边AC=5．
∵AB=3，BC=4，∴AB2+BC2=AC2，
∴AB⊥BC．
∵四边形ADD1A1为正方形，AA1∥BB1，
∴AB⊥BB1，而BC∩BB1=B，
∴AB⊥平面BCC1B1．（4分）
（2）∵AB，BC，BB1两两互相垂直．
以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，
则A（0，0，3），B（0，0，0），C（4，0，0），P（0，3，0），Q（4，7，0），
∴AP＝(0，3，−3)
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