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已知椭圆x^2/4+y^2/2=1,过F1的直线l与椭圆C交于A,B两点,若椭圆C上存在点P,使得向量OP=向量OA+向量OB,求直线l,
更新时间:2024-03-29 21:24:25
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问题描述:

已知椭圆x^2/4+y^2/2=1,过F1的直线l与椭圆C交于A,B两点,若椭圆C上存在点P,使得向量OP=向量OA+向量OB,求直线l,

梅红岩回答:
  a²=4,b²=2;c²=a²-b²=2;∴F1(-√2,0)   如果直线l不存在斜率,那么l方程为:x=-√2,A,B坐标分别为:(-√2,1),(-√2,-1)   向量OA=(-√2,1),向量OB=(-√2,-1),向量OP=(-2√2,0)改点不在椭圆上;   ∴假设直线l的斜率为k,则方程为y=k(x+√2)与椭圆方程联立消去y有:   (2k²+1)x²+4√2k²x+4k²-4=0;   设A(x1,y1)B(x2,y2)则:x1+x2=-4√2k²/(2k²+1);x1x2=4(k²-1)/(2k²+1);   向量OA=(x1,y1),向量OB=(x2,y2)   则向量OP=(x1+x2,y1+y2)   ∴代入椭圆方程x²/4+y²/2=1有:(x1+x2)²/4+(y1+y2)²/2=1;   又y1=k(x1+√2),y2=k(x2+√2)代入上式有:(x1+x2)²/4+k²(x1+x2+2√2)²/2=1;   又x1+x2=-4√2k²/(2k²+1)代入上式有:   [-4√2k²/(2k²+1)]²/4+k²[-4√2k²/(2k²+1)+2√2]²/2=1   k=?   然后求出方程^_^
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