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如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上一点,CD丄于D,点E是圆0上一点,且∠ACE=2∠BCD,连AE若BD=1AE=4求圆的半径
更新时间:2024-04-19 16:18:26
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问题描述:

如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上一点,CD丄于D,点E是圆0上一点,且∠ACE=2∠BCD,连AE若BD=1AE=4求圆的半径

黄艳岩回答:
  1、延长CO与AE交于F,连结EO,   ∵AB是直径,   ∴〈ACB=90°,   ∵〈CDB=90°,   ∴〈CAB=90°-〈CBA,   ∴〈BCD=90°-〈CBA,   ∴〈CAB=〈BCD,   ∵〈BCD=〈ACE/2,   ∴〈CAB=〈ACE/2,   ∵AO=CO=R,   ∴〈OAC=〈OCA,   ∴〈ACE=2〈ACO,   ∴CO是〈ACE的平分线,   ∵CO=OE=R,   ∴〈OEC=〈OCE=〈ACO=〈CAO,   ∵AO=EO=R,   ∴〈OAE=〈OEA,   ∴〈CAE=〈CEA,   ∴△CAE是等腰△,   ∵FC是顶角〈ACE的平分线,   ∴CF⊥AE,(等腰△三线合一).   2、∵〈BCD=〈ACF,   〈CDB=〈CFA=90°,   ∴RT△CDB∽RT△CFA,   ∴BD/AF=BC/AC,   AF=AE/2=2,   ∴BC/AC=1/2,   设BC=x,AC=2x,AB=√5x,   ∵〈CBD=〈ABC,(公用角)   〈CDB=〈ACB=90°,   ∴RT△CBD∽RT△ABC,   ∴BD/BC=BC/AB,   1/x=x/√5x,   x=√5,   AB=√5*√5=5,   ∴半径R=AB/2=5/2.
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