用反证法证
假设P是一个合数,则P至少有一个因数m可以整除P且m不等于1,m不等于P
则1<m<P,且m为整数
则(P-1)!≡0(modm)……①【注:即(P-1)!中肯定有一个乘数为m,所以(P-1)!能被数m整除】
由题目得:(P-1)!≡-1(modP)
且m是P的因数,
所以(P-1)!≡-1(modm)……②【注:即(P-1)!+1能被P整除,则(P-1)!+1也能被m整除)】
①-②:0≡1(modm)【即1能被m整除】
推出m=1,与假设的1<m<P,且m为整数矛盾
所以假设P是合数不成立
则P是质数得证