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广义托勒密定理如何证明?凸四边形ABCD的两组对边乘积的和大于等于它的两条对角线的乘积.如何证明呢?
更新时间:2024-10-09 10:23:53
1人问答
问题描述:

广义托勒密定理如何证明?

凸四边形ABCD的两组对边乘积的和大于等于它的两条对角线的乘积.

如何证明呢?

孙道平回答:
  在四边形ABCD中,连接AC,作角ABE=角ACD,角BAE=角CAD   则三角形ABE和三角形ACD相似   所以BE/CD=AB/AC,即BE*AC=AB*CD(1)   又有比例式AB/AC=AE/AD   而角BAC=角DAE   所以三角形ABC和三角形AED相似.   BC/ED=AC/AD即ED*AC=BC*AD(2)   (1)+(2),得   AC(BE+ED)=AB*CE+AD*BC   又因为BE+ED>=BD   所以命题得证   当且仅当E点落在线段BD上时,等号成立,此时ABCD内接于圆.
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